Estas tres formas tienen un sonido muy parecido, pero significan cosas distintas.
La secuencia a sí mismo está formada por la preposición “a”, el pronombre reflexivo “sí” y el adjetivo “mismo” con las variantes “misma”, “mismos” y “mismas”: Solo se quiere a sí mismo, Solo se quiere a sí misma.
En el caso de las formas así mismo y asimismo hay que tener en cuenta su significado para evitar confundirlas (Ortografía de la lengua española, 2010). Así mismo, escrita siempre en dos palabras, equivale a ‘de ese mismo modo’: Así mismo se lo diré (= ‘se lo diré de ese mismo modo’) y asimismo, escrita en una sola palabra, se emplea con el significado de ‘también’ y ‘además’: Le contó asimismo (‘también, además’) cómo había conseguido llegar a casa.
Es error escribir *asímismo porque es una palabra grave o llana terminada en vocal y la regla dice que estas no se tildan cuando terminan en vocal, en “n” o en “s”.
vía Castellano Actal
http://castellanoactual.com/a-si-mismo-asi-mismo-y-asimismo/
